Démonstration de la propriété
des
Hexagrammes Mystiques de Pascal
qui, plus briévement, sont appelés ici les
Hexamys
     

     Comme dans tous les problèmes de géomètrie il existe plusieurs façons de démontrer la belle propriété des Hexamys. La plus élégante est sans conteste celle qui fut donnée par Poncelet dans son Traité des Propriétés projectives des Figures T I p 105. Mais elle est réservée aux initiés et elle n'a pas sa place ici.

    Nous donnerons ici la démonstration qui utilise les connaissances élementaires apprises au Lycée, à savoir le Théorème de Thalés puis celui de Ménélaüs.

Démonstration

Avertissement: Dans ce qui suit, par commodité, les notations telles que AB désigneront
- la droite passant par A et B lorsque cette écriture sera isolée
- la mesure algébrique du vecteur AB, lorsque cette écriture sera dans une égalité.

     Observons pour commencer qu'une permutation quelconque dans le circuit d'un hexamys peut se décomposer en une suite de permutations de sommets voisins. Par suite pour démontrer que n'importe quelle permutation des sommets d'un hexamys conserve la propriété d'alignement de ses points de fuite, il suffit de démontrer que cette propriété subsiste tout simplement dans la permutation élémentaire de deux sommets voisins. C'est ce que nous allons faire:

Thalès

Une des expressions sommaire du thèorème de Thalès est par exemple:     Une sécante à deux côtés d'un triangle, est parallèle au troisième côté ssi les segments qu'elle détermine sur ces côtés sont proportionnels. De façon plus rigoureuse, soient A et B les intersections d'une sécante avec les côtés IJ et IK d'un triangle IJK alors les droites AB et JK sont paralléles ssi on a , par exemple, l'égalité (1)

Mais par commodité d'écriture nous écrirons en ligne: IA.IK = IB.IJ

Menélaüs

Trois points A,B,C, situés sur les côtés IJ,JK,KI d'un triangle IJK sont alignés ssi AI.BJ.CK = AJ.BK.CI Démonstration: soit H un point de IJ KH//AB ssi (1): AH.BJ = AJ.BK KH//AC ssi (2): AI.CK = AH.CI

Si ces deux propriétés sont réalisées, c'est à dire si A,B,C sont alignés il en découle, en faisant les produits membres à membres: (3): AI.BJ.CK = AJ.BK.CI

La réciproque résulte du fait que deux quelconques de ces égalités impliquent la troisième.

Pascal     

Conformément à ce que nous avons annoncé il va nous suffire de démontrer que la propriété d'alignement du circuit 1 se retrouve dans le circuit2 ou on a permuté seulement A et B.      Ainsi si les points P,Q,R sont les points de fuite du circuit 1, et si les points P,T,S sont les points de fuite du circuit 2, il suffit de démontrer que l'alignement de P,Q,R implique celui de P,T,S.

Démonstration: Soit IJK le triangle défini par les droites CD,EF,AB. On applique le théorème de Ménélaüs sur les côtés du triangle IJK:

l'alignement des points BCR se traduit par l'égalité: RK.CJ.BI = RI.BJ.CK
l'alignement des points AFQ se traduit par l'égalité: FK.QJ.AI = FI.AJ.QK
l'alignement des points ACT se traduit par l'égalité: TI.AJ.CK = TK.CJ.AI
l'alignement des points BFS se traduit par l'égalité: FI.BJ.SK = FK.SJ.BI
l'alignement des points PQR se traduit par l'égalité: RI.PJ.QK = RK.QJ.PI

     La multiplication membres à membres donne: TI.PJ.SK = TK.PI.SJ, qui, d'aprés la réciproque de Ménélaüs, exprime l'alignement cherché des points P,T, et S ce qu'il fallait démontrer.

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