Les mathématiciens d'aujourd'hui me font souvent penser à mon épouse. Elle ne sait pas partir pour le plus petit voyage sans une quantité impressionnante de bagages. Il en est aujourd'hui de même pour le moindre texte mathématique qui nécessite presque toujours un nombre considérable de connaissances préalables pour être compris, le rendant la plupart du temps inaccessible dés les premières lignes au commun des mortels.

                   Voilà pourquoi je suis heureux de faire connaître aux jeunes, épris de véritable beauté, la merveilleuse histoire de la géométrie projective qui ne nécessite, pour être comprise, que de savoir ce que sont trois points alignés !

                   Ceux qui auront la patience de parcourir ce site y découvriront l'extrême abondance des résultats que l'on peut déduire de cette seule connaissance, faisant véritablement de la géométrie une science d'une telle beauté que les anciens grecs la pensaient dérobée aux Dieux.

                   Et pour commencer parlons du jeune homme qui la découvrit

    

Histoire d'une découverte

 

Genèse de la Géométrie Projective

                C'est le terrible hiver de 1812-1813. Nous sommes dans les environs de Saratov, sur les bords de la Volga. Dans cette ville est détenu le jeune officier Jean Victor Poncelet, fait prisonnier depuis peu pendant la retraite de Russie. Il a vingt six ans. Quelques temps avant de rejoindre la grande armée, il était encore élève de l'école polytechnique.

                Il a fait beau toute la journée. A travers la vitre de sa chambre il découvre une immense plaine blanche. Cinq ou six nobles du voisinage, venus en visite, sont en train de repartir sur leurs traineaux qui s'éloignent dans toutes les directions. Machinalement, sur la buée de sa vitre, Jean Victor Poncelet dessine de son ongle les traces laissées par les traineaux sur la neige. Il obtient un dessin qui ressemble à peu prés à ceci.

                Ce dessin le laisse beaucoup songeur. Il sait en effet que les traces des traineaux sur la neige sont des droites parallèles. Et il sait aussi que des droites parallèles ne se coupent pas. Or sur la vitre ces droites se coupent. Et de plus ces droites qui se coupent, se coupent en des points qui semblent alignés sur une droite située infiniment loin à l'horizon.

                Jean Victor est pensif. Sa constatation a un coté mystérieux qui l'intéresse beaucoup. Que peut il bien se passer à l'infini ? Il sait que les sens de l'homme sont loin d'étre parfaits. C'est pour cela que beaucoup de choses nous sont cachées. Par exemple les ultrasons sont des sons comme les autres pour un simple chien alors que pour l'homme ils sont inaudibles! Il y a donc des choses qui existent et que pourtant nous ne percevons pas ! De la même façon il se pourrait bien qu'à l'infini il y ait une droite qui nous soit invisible mais qui serait une droite comme les autres !

                Dans la tête de Jean Victor les idées se bousculent de plus en plus vite. Il se demande maintenant quelle serait alors cette géométrie si on y ajoute cette droite qui nous est, à nous, invisible ? Cette droite sur laquelle vont se couper toutes les paralléles qu'il a dessinées. Il lui faut se rendre à l'évidence: dans cette géométrie les droites parallèles....se coupent! C'est absolument extraordinaire !

 

Disparition de toutes les propriétés classiques

                Poncelet est passionné par ce qu'il vient de découvrir. La nuit est tombée. Il se met à sa table avec un crayon et du papier. Il ne voit plus le temps passer. Il cherche quelles peuvent bien être toutes les conséquences de la supposition qu'il vient de faire.

                Le point acquis de façon indiscutable c'est que dans cette géométrie il n'y a plus de droites parallèles au sens où on l'entend dans la bonne vieille géométrie euclidienne. Par conséquent cette géométrie va ignorer toutes les figures où intervient le parallélisme. Il n'y a donc pas de parallélogramme, de trapèze, de losange, et de rectangle.

                Dans cette géométrie on ne peut pas non plus utiliser le compas pour rapporter des distances égales. En effet si sur deux droites sécantes en O par exemple on pouvait rapporter les distances égales OA et OC sur l'une et OB et OD sur l'autre alors le quadrilatère ABCD où les diagonales se coupent en leur milieu O serait un parallélogramme ce qui est impossible puisque cette géométrie ne connait justement pas les parallélogrammes. Donc dans cette nouvelle géométrie on ne peut plus utiliser le compas. Impossible alors de graduer un droite en y reportant des distances égales. Il n'y a pas de cercles, de médiatrices, de bissectrices, de triangles isocèles ou de triangles équilatéraux.

                Dans cette géométrie il n'y a pas non plus d'angle droit et de perpendiculaires sinon , en menant deux perpendiculaires à une même droite on obtiendrait deux droites parallèles ce qui est impossible. Donc pas de hauteur non plus, ni de triangle rectangle.

                Et c'est ainsi, à mesure que les heures passent, que Jean Victor Poncelet voit un à un disparaître tous les théorèmes qu'il a appris à l'école: Théorème de Pythagore, de Thalès, de Ménélaüs, de Céva, d'Euler,de Simson,de Newton. Il a beau pousser ses investigations de plus en plus loin, à chaque fois c'est la même réponse: le théorème qu'il est en train d'examiner n'est dorénavant plus valable ! En effet cette géométrie qu'il apprise quand il était étudiant est celles des figures qui se tracent à la règle et au compas. Mais ici le compas est dorénavant interdit. Par suite les seules figures autorisées sont celles qui peuvent se tracer à l'aide de la règle seule et évidemment cette règle ne doit pas être graduée!

                Alors il essaie bien de faire quelques dessins. Mais il s'aperçoit vite qu'il ne peut plus pratiquement dessiner aucune figure! Impossible en effet avec la règle seule de tracer des droites parallèles, de prendre le milieu d'un segment, de dessiner un angle droit et à plus forte raison une hauteur ou une médiatrice.

                A présent Jean Victor Poncelet est un peu découragé. Le jour commence à poindre. Semblables aux théorèmes qu'il vient de voir, les étoiles dans le ciel s'estompent les unes après les autres. Et il se demande à quoi bon une géométrie où il n'y aurait pas de propriétés à observer, pas de découvertes à faire, pas de théorèmes à démontrer ? Aprés l'euphorie du début, cette nouvelle géométrie lui parait bien décevante.

 

Le bout du tunnel

                C'est au moment où il va finalement baisser les bras que lui vient l'inspiration. Oui, il y a un théorème qui est enfin toujours valable. Un théorème découvert autrefois par le jeune Blaise Pascal alors agé de 16 ans. Un théorème d'une telle beauté que son découvreur lui donna le joli nom de Thèorème de l'Hexagramme Mystique. Poncelet se dit maintenant qu'il est sur la bonne voie. Au même moment, comme pour l'encourager, le soleil se lève, éclipsant tous les autres astres comme le théorème de Pascal vient de supplanter tous les autres théorèmes.

                Mais Poncelet s'est déjà remis au travail. De façon systématique cette fois. Et comme il a fait cette découverte en projetant les traces des traineaux sur la vitre, il va appeler cette géométrie: Géométrie Projective.

                En vérité on ne sait pas du tout si les choses se sont passées ainsi. On sait seulement que le jeune Jean Victor Poncelet fut libéré en 1814 et qu'il publia quelques temps après un Traité des Propriétés Projectives des Figures qu'il introduisit par ces mots: Cet ouvrage est le résultat des recherches que j'ai entreprises, dés le printemps de 1813, dans les prisons de Russie.

                Mais peu importe au fond la genèse de cette découverte. Peu importe qu'elle ait commencé comme dans cette histoire, ou bien qu'elle ait commencé bien plus tôt, avec Desargues par exemple comme certains le disent! Ce qui nous intéresse à présent c'est de faire connaissance avec ce merveilleux théorème de Blaise Pascal. Alors tournons la page !

   

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