Qu'est ce qu'un Hexamys ?

 

                   Le théorème de l'Hexagramme Mystique , qui est l'un des plus beaux théorèmes de la Géométrie Projective inventée par Jean Victor Poncelet quand il fut détenu en Russie, a été découvert par le célèbre Blaise Pascal en 1640 quand il avait seize ans. Il parait qu'il en avait tiré 400 corollaires. Malheureusement son travail a été perdu et on n'en connait l'existence que par un témoignage de Leibniz qui eut la chance de pouvoir le consulter. C'est un merveilleux théorème et on comprend que par enthousiasme le jeune Pascal lui ait donné ce nom  dithyrambique , mais pour suivre la mode actuelle qui aime les noms plus courts nous l'appellerons: théorème de l'Hexamys.

               Au contraire de la plupart des exposés mathématiques qui nécessitent de nombreuses connaissances préalables, celui qui est présenté sur ce site nécessite une et une seule connaissance, celle de la droite. C'est donc par cette notion fondamentale que nous l'ouvrirons: Qu'est ce qu'une droite ?

 

 Question : Qu'est ce qu'une droite ?

Deux points A et B étant donnés on appelle segment AB l'ensemble des points qui sont situés sur le plus court chemin de A à B y compris les points A et B qui sont appelés les extrémités du segment AB.

On dit que trois points A,B et M sont alignés ssi l'un d'eux est situé sur le segment déterminé par les deux autres. Ainsi dans la figure ci dessous on dit que A,B et M sont alignés car B est situé sur le segment qui a pour extrémités les points A et M

On appelle droite AB l'ensemble des points alignés avec A et B y compris les points A et B.

Quand trois points A,B et C ne sont pas alignés on dit qu'ils forment un triangle ABC et les droites AB, BC et CA sont appelées les cotés de ce triangle.

On appelle plan d'un triangle ABC l'ensemble des points alignés avec deux points distincts situés sur les cotés de ce triangle.

Deux remarques fondamentales:

1° - Dans tous les développements et exercices présentés sur ce site nous nous considérons situés dans un plan

2° - Dans tous les développements et exercices présentés sur ce site toute notation telle que AB représentera la droite passant les points A et B.

 

    Question: Qu'est ce qu'un hexamys ?

            Imaginons une plaine, sur laquelle on suppose implantés trois phares P, Q et R.
            Si ces phares sont alignés alors la zone ABCDEF éclairée par leurs trois pinceaux lumineux, est un hexamys, et les six points A,B,C,D,E,F sont appelés les sommets de l'hexamys.

            L'hexamys est donc cette figure particulièrement simple qui est représentée ci contre.

     

     Question: Qu'est ce qu'un circuit dans un hexamys ?

     Supposons que ces six sommets ABCDEF de l'hexamys sont des villes situées dans la plaine , et que chacune de ces villes est directement reliée par la route à chacune des autres. On peut alors les visiter toutes les six en suivant différents itinéraires . Ces itinéraires s'appellent des circuits dans l'hexamys.


- Par exemple on peut faire le circuit ABCDEF et revenir à A.
- Ou bien encore on peut faire le circuit FBDECA et revenir à F.
- etc etc

    On réalise évidemment tout de suite que dans un hexamys, il y a beaucoup de circuits différents possibles. Pour mieux les visualiser nous les écrirons en rond. Ainsi les deux circuits que nous venons de voir vont s'écrire.

     Question: Qu'est ce que les côtés opposés d'un circuit ?

     On appelle côtés opposés d'un circuit, deux droites qui se font face, non pas sur la figure mais dans l'écriture en rond de ce circuit. Par exemple dans le 2° circuit FBDECA écrit ci dessus, la droite qui passe par les points B et D, s'appelle côté opposé de la droite qui passe par les points C et A.

     Question: Qu'est ce que les points de fuite d'un circuit ?

     Les points de fuite d'un circuit sont les trois points d'intersection des côtés opposés.

     Par exemple dans le circuit ABCDEA qui est le plus facile à voir sur la figure, les trois points de fuite sont les intersections P de AB et ED, Q de BC et FE, et enfin R de FA et DC.

       Ainsi il y a autant de triplets points de fuite qu'il y a d'écriture de circuits différents. Or un sommet étant choisi comme point de départ du circuit, il y a 5! c'est à dire 120 circuits différents ce qui fait beaucoup !

 

     Question : Mais quelle est donc cette si belle propriété des hexamys qui a enthousiasmé le jeune Pascal ?

     Cette extraordinaire propriété est la suivante:

Quel que soit le circuit considéré dans un hexamys,
ses trois points de fuite sont toujours sur une même droite.

             C'est une propriété absolument stupéfiante. Pour la mettre en image voici un diaporama avec quelques uns des alignements engendrés par l'hexamys ABCDEF, mais il y en a évidemment beaucoup d'autres, dont malheureusement les intersections se situent en dehors de la figure.

 Pour la démonstration de cette belle propriété cliquez sur: Démonstration.

 

     Question: Y a t il un hexamys plus simple que les autres ?

     Il existe effectivement un hexamys plus simple que les autres, et que , pour cette raison, nous appellerons hexamys élémentaire.

     C'est l'hexamys constitué par deux triplets de points alignés, comme par exemple ABC et DEF.

     En effet, pour le circuit écrit, il découle de ces alignements que les points de fuite I intersection de AB et ED, et J intersection de BC et FE sont confondus.

      Alors, n'importe où que soit le 3° point de fuite K intersection de AFet CD, il passe bien une droite par les trois points I,J,K, et le circuit considéré est bien celui d'un hexamys.

            Nous trouverons très souvent cet hexamys élémentaire dans les configurations géométriques. Alors dans son écriture en rond nous conviendrons d'écrire les deux alignements, l'un à droite et l'autre à gauche, comme dans l'écriture ci dessus ou on trouve à gauche les trois points A,B,C effectivement alignés, et à droite les trois points F,E,D eux aussi effectivement alignés.

     Maintenant que nous savons ce qu'est un hexamys, nous allons découvrir sa merveilleuse fécondité.

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