La résolution par les Hexamys

 

                        Il y eut autrefois un trés grand mathématicien qui s'appelait Gauss. Il aimait évidemment beaucoup la géométrie et un jour qu'il venait de terminer une de ses recherches dans cette branche il écrivit en introduction de son exposé " Enfanté dans la joie, engendré dans la douleur ", pour dire qu'en géométrie il est très agréable de chercher mais que la rédaction est par contre généralement un calvaire. C'est en fait la vraie raison de sa disparition progressive des programmes scolaires et, une fois arrivé au baccalauréat, il ne reste qu'une section où elle figure encore.

                        Or nous allons voir que dans cette géométrie inventée par Poncelet, les hexamys vont se révéler un merveilleux outil non seulement de résolution mais aussi de rédaction, car, de façon tout à fait extraordinaire, elles ne vont nécessiter en tout et pour tout à elles deux que douze lettres, c'est à dire encore moins qu'il n'en faut par exemple pour écrire le mot MATHEMATIQUES.

                        On commence à comprendre les bonheurs de Poncelet et de Pascal ! Voyons ensemble cette méthode sur deux exemples :

 

Premier exemple

Soient A,B,C trois points distincts sur une droite d,
et A',B',C' trois points eux aussi distincts sur une droite d'.
Montrer que les trois intersections,
I de AB' et A'B, J de BC' et B'C, et enfin K de CA' et C'A
sont alignées.

 

Figure et solution

Commentaire

              Vous découvrez ici la première démonstration par les Hexamys. Vous constatez comme elle est étonnamment courte. La solution complète est en effet composée par deux circuits d'un même hexamys: le circuit initial et le circuit final , et, comme on l'a dit plus haut, comporte donc en tout et pour tout douze lettres. Examinons ces deux circuits en détail:

              Le circuit initial qui traduit les hypothèses du problème, se révèle être ici un hexamys élémentaire puisque les trois points de gauche ABC sont alignés, ainsi que les trois points de droite A'B'C'. C'est le cas qui a été signalé dans la page précédente. Ainsi nous voilà assurés qu'il s'agit bien d'un hexamys.

              Il nous faut ensuite, pour démontrer le problème posé, voir s'il existe bien un circuit de ce même hexamys dont les points de fuite seront les points I,J,K. Cette recherche aboutit au circuit AB'CA'BC' qui est écrit à droite puisqu'on vérifie que ses points de fuite sont les intersections de AB' et A'B, de BC' et B'C, et enfin de CA' et C'A, c'est à dire les trois points I,J,K de l'énoncé. Il s'agit donc bien de l'alignement que nous cherchions à démontrer.

              Enfin, comme pour passer d'un circuit à l'autre nous n'avons fait que permuter les six sommets de l'hexamys, le théorème de Pascal sur l'hexagramme mystique nous autorise à dire qu'effectivement les intersections des cotés opposés dans le second circuit sont bien des points alignés. Par conséquent cette simple permutation résoud le problème posé et nous venons de démontrer, en douze lettres seulement, que si A,B et C sont alignés, ainsi que A', B' et C' alors les points I, J et K le sont aussi.

              Observons d'ailleurs que n'importe quelle autre permutation des six lettres A,B,C,A',B',C' aurait elle aussi donné un alignement nouveau, apportant plein d'autres résultats intéressants, relatifs aux deux alignements de A,B,C et de A',B',C' ce qui prouve la fécondité de l'hexagramme mystique de Pascal !

                   Le théorème que nous venons de démontrer porte le nom de Théorème de Pappus.  

 

 

Second exemple

Soient trois droites AA', BB', CC' concourantes en O.
Montrer que les trois intersections
I de AB et A'B', J de BC et B'C', et K de CA et C'A'
sont alignées.

On pourra s'aider des intersections H de AB et A'C' et H' de A'B' et AC

 

Figure et solution

Commentaire

     La solution complète est encore composée par les deux circuits d'un même hexamys.

      On vérifie que le circuit initial est bien celui d'un hexamys. En effet les points de fuite du circuit BB'H'CC'H sont bien alignés par hypothèses puisque ce sont les intersections A de BH et H'C, puis A' de B'H' et HC', et enfin O de BB' et CC' et que l'énoncé nous dit que la droite AA' passe par O.

     Et alors le circuit final BCH'B'C'H nous donne l'alignement de ses trois points de fuite, à savoir les intersections de BH et B'H', puis de BC et B'C', et enfin C'H et CH', c'est à dire de I, J et K , comme l'énoncé demandait de le démontrer. La démonstration est finie.

     Ici encore il s'agit d'un thèorème trés connu en géomètrie. Il porte le nom de Thèorème de Desargues. On l'appelle aussi parfois Théorème des Triangles homologiques, qui sont ABC et A'B'C'.

 

              Avec les Hexamys il ne reste donc plus que le bonheur de la recherche et de la découverte puisque la rédaction est d'une simplicité inimaginable auparavant ! Et comme je devine que vous brûlez à votre tour de vous exercer à cette recherche, voici des exercices pour vous entrainer:

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