THESAURUS

              Voici une série d'exercices traitables par les hexamys. Avant de les aborder, il faut naturellement avoir lu leur présentation. puis comment ils s'utilisent.

              Lisez l'énoncé et considérez la figure qui l'accompagne. Le travail de recherche consiste à découvrir quel est l'hexamys qui convient. Ceci fait et comme vous l'avez vu dans la page précédente, la rédaction de la solution toute entière tient en l'écriture des deux circuits hypothèse et résultat. Ainsi, par cette méthode, il ne reste plus que la partie la plus passionnante des problèmes de géométrie:    la recherche.

     Avec un peu d'entrainement , vous découvrirez assez vite l'hexamys qui convient. Mais si vous n'y arrivez pas, sachez que quand la souris est mise sur le dessin , le problème apparait avec sa solution . Super, non !

Problème I

Présentation:
     Nous allons commencer cette série d'exercices en revenant sur le théorème de Desargues. Ce thèorème,comme nous l'avons dit, est, avec celui de Pappus, un théorème trés important des mathématiques. Les quelques exercices suivants en donneront un commencement de preuve. Mais Desargues a sur Pappus l'avantage de correspondre à une figure excessivement simple. C'est tout simplement la figure formée par cinq plans quelconques de l'espace. Il en découle d'ailleurs une façon extrèmement élégante de le démontrer . Pour revoir encore ce théorème, vérifions si sa réciproque est bien vraie.

Enoncé:
      Si deux triangles ABC et A'B'C' ont leurs côtés correspondants qui se coupent deux à deux en trois points alignés, démontrer que les trois droites AA',BB' et CC' concourent.

ProblèmeII

Présentation:
      Voici , à titre d'exemple, une première application de Desargues.
      Supposons, qu'à l'instar de ce qui se fait avec les vecteurs en géométrie euclidienne, nous décidions d'établir une relation d'équivalence entre les couples de points du plan de la façon suivante. Une droite d étant donnée, nous dirons que deux couples de points (A,B) et (A',B') sont "égaux" ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées:
- les droites AA' et BB' se coupent sur d,
- les droites AB et A'B' se coupent aussi sur d.
     Pour voir si cette relation est une relation d'équivalence , la réflexivité et la symétrie sont évidentes, il reste à vérifier la transitivité.

Enoncé:
      Montrer que si AB,A'B',A"B" se coupent sur une droite donnée d, de même que AA' et BB', et de même que A'A" et B'B", alors AA" et BB" se coupent aussi sur d.

     Les cas d'alignement de A,B,A',B' par exemple ne soulèvent pas de difficultés sérieuses, et nous les laisserons de côté. Ce qui est plus intéressant est que ce résultat est un cas particulier de Désargues. Il suffit pour celà de considérer les triangles AA'A" et BB'B".

Problème III

Présentation:
      Voici un deuxième exemple montrant l'importance de Desargues. Dans l'exercice précédent nous avons établi une relation d'équivalence entre les couples de points, relation pour laquelle nous avons donc le droit d'utiliser le signe=. Munissons les maintenant d'une addition en disant que (A,B)+(B,C)=(A,C). Le problème essentiel est de savoir si cette addition est compatible avec l'égalité définie. C'est à dire que si (A,B)=(A',B') et si (B,C)=(B',C'), avons nous (A,C)=(A',C')?
Comme AA' et BB', puis BB' et CC' concourent sur d, évidemment AA' et CC' concourent sur d. La seule question qui se pose est la suivante: est ce que les droites AC et A'C' vont bien se couper sur d ? Démontrons le par les hexamys:

Enoncè:
  Quand AA',BB',CC', puis AB et A'B', puis BC et B'C' concourent sur une droite d, montrer que AC et A'C' concourent aussi sur cette même droite d.   

mais ici encore il s'agit d'un cas particulier du théorème de Desargues. Il suffit pour cela de considérer les triangles ABC et A'B'C' dans le cas particulier ou les quatre points P,Q,R et K sont alignés.

Problème IV

Présentation:
      Pour changer nous allons passer au théorème de Pappus.
      Nous avons vu que pour trois points A,B,C alignés de façon quelconque sur une droite d, et A',B',C' alignés aussi de façon quelconque sur une autre droite d', le théorème de Pappus donne toujours le trés bel alignement des points I,J,K.
      Voici une propriété supplémentaire de cette figure dans un de ses cas particuliers

Enoncè
      Si les points alignés A,B,C et A',B',C' sont tels que AA',BB' et CC' concourent, démontrer que la droite IJK passe par l'intersection de d et d'..

Et , stupéfaction, il s'agit encore de Desargues! Il suffit pour celà de considérer les triangles AB'C et A'BC'. Décidément c'est bien vrai que ce théorème de Desargues se retrouve souvent !

Passons à présent à des exercices plus communs.

Problème V

Présentation
      Euclide a écrit trois livres de Porismes qui hélas ont été perdus. Il s'agissait de résultats géométriques. Grâce à de savants recoupements le mathématicien Chasles pensa les avoir reconstitués. Voici un des problèmes tiré de ces porismes.

Enoncé
      Soit un triangle PSQ. Autour de deux points fixes O et O' alignés avec S, on fait tourner deux droites se coupant en M sur PQ. Soient les intersections A de SP et OM, et A' de SQ et O'M. Montrer que , lorsque M se déplace sur PQ, la droite AA' passe par un point fixe que l'on déterminera.

Observation
Il s'agit d'un problème très intéressant car, présentons différemment la figure qu'en donna Chasles.

et on reconnait la configuration attribuée à Pappus. Par suite, si la reconstitution de Chasles est exacte, celle ci aurait donc en fait été découverte plusieurs siècles avant celui auquel elle est attribuée !

Problème VI

Présentation
      Voici à nouveau un problème dont les origines remontent à Euclide. Il s'agit d'un angle donné coupé par une droite transversale tournant autour d'un point fixe. Euclide trouvait intéressant l'alignement qui en découle. Son énoncé est le suivant:

Enoncé
      On donne un angle de sommet S , et deux points O et O' alignés avec S. Autour d'un point fixe R on fait tourner une droite qui coupe les côtés de l'angle en A et A'. Alors, quand cette droite tourne, montrer que le point M, intersection des droites OA et O'A', se déplace sur une droite fixe que l'on déterminera.

Problème VII

Présentation
      Trois droites concourantes issues des trois sommets d'un triangle, portent le nom de céviennes en hommage au mathématicien Céva qui les aurait parait il particulièrement étudiées. On dit qu'elles forment un faisceau, et le point de concours de ces droites s'appelle le centre du faisceau.
      On peut aussi dans un triangle, considèrer deux faisceaux de céviennes; on obtient alors des résultats intéressants. En voici un par exemple;

Enoncé
      Soient P et Q les centres de deux faisceaux de céviennes dans un triangle ABC. On considère les intersections A' de PB et QC, B' de PC et QA, et enfin C' de PA et QB. Démontrer qu'alors les trois droites AA',BB' et CC' sont aussi des céviennes du triangle ABC, c'est à dire qu'elles concourent.

Problème VIII

Présentation
      Mais voici un résultat encore plus remarquable concernant deux faisceaux de céviennes de centres O' et O" par exemple dans un triangle ABC: quelle que soit la façon dont on choisit O' et O" , les pieds de ces céviennes A',B',C',A",B",C" sur les côtés du triangle sont les sommets d'un hexamys.
     Sur la figure nous avons écrit un des circuits de cet hexamys, et on va montrer que les trois points de fuite de ce circuit sont alignés sur la droite O'O". Il suffit évidemment de le montrer pour deux cotés opposés, la démonstration se répétant pour les autres.

Enoncé
     Si A',B',C' et A",B",C" sont respectivement les pieds des céviennes issues de O' et O" dans un triangle ABC, montrer que les droites A'B" et B'A" concourent sur la droite O'O".

Problème IX

Présentation
      Dans un triangle, on appelle transversale toute droite qui coupe les trois côtés de ce triangle. Si le triangle s'appelle ABC, l'habitude est de donner les noms A', B',C' aux intersections de cette transversale situés sur les côtés opposés à A,B,et C. Cette figure ABCA'B'C' porte alors le nom de quadrilatère complet, et les trois droites AA',BB' et CC' s'appellent les diagonales de ce quadrilatère complet.

     Les transversales ont beaucoup intéressé les anciens géomètres, et le mathématicien Carnot leur a même consacré un livre. Il faut dire qu'elles ont de belles propriétés. Par exemple il suffit de deux transversales à un triangle pour en engendrer une autre.Cette nouvelle transversale, associée à l'une des deux premières, en engendre d'autres à son tour et ainsi de suite. Démontrons le:

Enoncé
      Soit A'B'C' et A"B"C" des transversales d'un triangle ABC. Démontrer que les droites A'C", B'A" et C'B" coupent aussi les côtés de ABC suivant trois points alignés.

Problème X

Présentation
      Les diagonales d'un quadrilatère complet ont de nombreuses propriétés. Newton a d'ailleurs attaché son nom à l'une d'elles. En voici une autre qui, pour n'être pas spectaculaire, est pourtant intéressante.Elle concerne deux de ces diagonales. Nous prendrons CC' et BB', mais évidemment le problème donne la même propriété avec AA' et CC' ou bien encore avec AA' et BB'.

Enoncé
      Soient I et J deux points quelconques respectivement choisis sur les diagonales CC' et BB' d'un quadrilatère complet ABCA'B'C'. On considère l' intersection P de B'I et C'J, et de même l'intersection Q de BI et CJ. Démontrer que, quels que soient les choix de I et J, la droite PQ passe toujours par le point A.

Problème XI

Présentation
      Chasles fut un trés grand géomètre français d'il y a un peu plus de cent ans. Il est bien connu des collégiens à cause de la fameuse relation qui porte son nom. Voici par exemple l'un des thèorèmes qu'il énonce dans l'un de ses ouvrages:

Quand trois angles sous tendent une même corde,
ces trois angles pris deux à deux en sous tendent une seconde,
et les trois cordes ainsi déterminées concourent en un même point.

démontrons ce thèorème avec les hexamys. On obtient l'énoncé suivant:

Enoncé
   A partir de trois points A,B et C on observe deux points P et Q. Soient les intersections I de PB et QC, puis I' de PC et QB, puis J de PC et QA, puis J' de PA et QC, puis K de PA et QB puis enfin K' de PB et QA. Démontrer que les trois droites II',JJ',KK' concourent, ce qui est le résultat annoncé par le théorème de Chasles.

Problème XII

Présentation
      Voici à présent un problème dont la figure est trés jolie. Dans la configuration que nous lui donnons, elle fait penser à une éolienne. Cela vient de ce que chaque triangle joue le même rôle par rapport aux deux autres. Mais évidemment le résultat obtenu est valable avec n'importe quelle autre figure.

Enoncé
      Sur les côtés respectifs d'un triangle ABC on prend A',B',C' et de même on prend A",B",C" sur les côtés respectifs de A'B'C'. Alors si B et C sont aussi sur les côtés respectifs de A"B"C", il en est de même pour le sommet A.

ProblèmeXIII

Présentation
      Observons que dans la configurtion de Desargues, on ne s'intéresse qu'aux intersections des côtés correspondants de deux triangles. Or chaque côté de chaque triangle, coupe par ailleurs en deux points les deux côtés non correspondants de l'autre triangle! Nous obtenons ainsi un hexagone. Cet hexagone a des propriétés intéressantes. Par exemple ses diagonales coupent aussi les côtés de chacun des deux triangles en trois points alignés. Démonstration:

Enoncé
      Soient deux triangles dans la configuration de Desargues c'est à dire dont les cotés correspondants se coupent en trois points alignés, et soient A'B"B'C"C'A" les autres intersections des cotés de ces deux triangles. Démontrer que les diagonales A"B',C"A' et B"C' de l'hexagone d'intersection coupent aussi les cotés de ces deux triangles en trois points alignés.Il suffit évidemment de faire la démonstration pour un seul de ces deux triangles, soit ABC par exemple.

Problème XIV

Présentation
     En géométrie élémentaire on sait que chaque segment à un milieu et un seul. Ce milieu a beaucoup de propriétés importantes. Par exemple si un parallélogramme admet ce segment pour diagonale, l'autre diagonale passe aussi par ce point, quel que soit le parallélogramme que l'on choisisse.
      Si on se donne une droite dans le plan, il est possible de définir sur un segment donné un point fixe qui a des propriétés trés comparables avec celles que possède le milieu de ce segment. On peut l'énoncer ainsi:

Enoncé
     Soient une droite d et deux points A et B non situés sur d. Soient I et J deux points de d. On pose les intersections P de IB et JA, et Q de IA et JB. Montrer que, n'importe où que l'on prenne I et J, la droite PQ coupe toujours AB en le même point. Il est évident qu'il suffit de montrer que ce point ne varie pas si on fait simplement aller par exemple I en une autre position K par exemple, la méthode se renouvelant ensuite pour le point J.

Problème XV

Présentation
          Ce problème ouvert fut posé " au précédent millénaire" sur le forum Sci Maths. Son auteur s'excusait de la complexité de la figure qu'il appelait d'ailleurs "usine à gaz". Je crois qu'il n'y eut que deux réponses. L'une qui mentionnait une tentative de traiter ce problème par l'analytique; mais elle signalait que les calculs étaient "imbuvables", et qu'il avaient été arrétés avant terme. L'autre où je donnais une solution par la géométrie projective, en envoyant, comme on dit, les points à l'infini; mais c'était encore loin d'être évident.

     La base de départ est la configuration de Pappus, c'est à dire deux triplets de points alignés A,B,C et R,S,T. On trace les neuf droites qui relient un point d'un triplet à un point de l'autre triplet. On lira directement sur la figure les noms affectés.
     Puisque nous savons que les six points A,B,C,R,S,T constituent un hexamys élémentaire, chacun de leur circuit donnera évidemment un alignement, et, à titre d'exemple, le circuit (a), donne l'alignement des points L,M etN qui va d'ailleurs nous servir.
     Le problème posé ici est bien plus joli. Sa démonstration classique est effectivement difficile, mais, avec les hexamys, on retrouve l'élégance des démonstrations en douze lettres. Il peut s'énoncer ainsi.

Enoncé
      Etant donné deux alignements ABC et RST, considérons les trois circuits 1,2,3 obtenus par permutation circulaire des seuls points R,S,T. Il leur correspond les trois alignements I,J,K, puis I',J',K', et enfin I",J",K". Démontrer que ces trois droites d'alignements concourent.

Problème XVI

Présentation
      Les exemples traités démontrent l'efficacité des hexamys dans la résolution de nombreux problèmes. Mais leur plus belle particularité est qu'ils permettent aussi la découverte de propriétés nouvelles. Il suffit pour cela de se donner une configuration particulière et d'y découvrir un hexamys. Chacune de ses permutations apporte alors un résultat nouveau. Quel véritable plaisir avec des adolescents par exemple, de découvrir des propriétés géométriques presque à volonté!
      Donnons un exemple avec les pentagones, ces mal-aimés des mathématiques.

Convention: Dans un pentagone, comme dans un triangle, chaque sommet, tel que A par exemple, a deux côtés adjacents AB et AE, et un côté opposé CD. Mais il a en plus deux côtés supplémentaires, BC et ED, que nous appellerons côtés adverses de A. Ces mêmes appellations seront aussi données aux diagonales: adjacentes AD et AC, opposée BE, et enfin diagonales adverses EC et BD.

     Un pentagone peut toujours être considéré comme un hexagone ou deux sommets sont confondus, en A par exemple. Et puisque ce coté AA est indéterminé, on peut considérer qu'il passe par le point de CD qui est aligné avec les intersections de AB et DE, puis de BC et AE. Finalement on arrive à ce résultat étonnant, qu'un pentagone peut être de nombreuses façons différentes considérè comme un hexamys !

      Alors voici avec les hexamys un exercice sur les pentagones, qui aboutit à un résultat à ma connaissance inédit.

Enoncé
      Dans un pentagone ABCDE, considérons par exemple le sommet A.
Ses deux côtés adjacents AE et AB sont coupés
* d'une part par les deux cotés adverses BC et DE en deux points P et Q
* d'autre part par les deux diagonales adverses BD et EC en deux points J et I
Démontrer que, quel que soit le pentagone ABCDE, les deux droites PQ et IJ concourent sur le coté DC.

Observation: cette convergence se retrouve évidemment sur chacun des cinq cotés du pentagone, ce qui permet d'énoncer le théorème suivant:

Pour chacun des sommets d'un pentagone
l'intersection de ses deux cotés adjacents
avec ses deux cotés (resp diagonales ) adverses ,
détermine une première droite (resp une deuxième droite),
et ces deux droites concourent sur le coté opposé de ce sommet.

PProblème XVII

     Dans les feuilletons, l'épisode se termine toujours par une interrogation, pour ménager un suspens. Nous allons nous aussi terminer par une interrogation, c'est à dire par une question ouverte.

     Comme nous l'avons vu dans la partie introduction , le théorème de Desargues , dans son cas général, se démontre facilement par les hexamys. Il en est d'ailleurs un bel exemple. Or il semble que cette démonstration soit en défaut dans certains cas particuliers de ce théorème. La question n'est pas de découvrir d'où vient cette anomalie, ce qui se voit trés vite. Elle est de savoir comment on la contourne. Voyons deux de ces cas particuliers.

Le premier concerne un triangle ABC et trois céviennes quelconques, de pieds A',B',C'. Puisque les droites AA',BB' et CC' concourent, le théorème de Desargues nous informe que les côtés de A'B'C' coupent ceux de ABC en trois points alignés, ce que les anciens exprimaient par le thèorème suivant: Les intersections des côtés correspondants d'un triangle et de n'importe lequel de ses triangles céviens, sont alignées.

Mais comment doit se faire la démonstration par les hexamys ?

Problème XVIII

Le second problème concerne un quadrilatère complet, ABCA'B'C' de diagonales AA',BB',CC'. Elles se coupent deux à deux en trois points A",B",C". Alors les droites AA",BB" et CC" concourent.

Ici encore c'est évident d'après le théorème de Desargues puisque les deux triangles ABC et A"B"C" ont les côtés correspondants qui se coupent en les trois points alignés A',B',C'.

Mais comment peut on en faire la démonstration par les hexamys ?

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