Les hexamys et le parallélisme
Considérons la figure ci dessous où, conformément à ce qui vient d'être dit, nous avons choisi une droite de l'infini. Alors on dira que les droites A'B' et AB qui se coupent dessus sont paralléles, de même que B'C' et BC, ainsi que C'A' et CA.
Cette fois ci, vous qui avez été bien gentils jusqu'ici, vous allez dire que j'exagère car les droites AB et A'B' ne sont pas du tout paralléles puisqu'elles se coupent ! Mais ce qui compte ce n'est pas ce que nous voyons c'est ce que nous disons. Et l'essentiel est que ce que nous disons soit juste. Je prends par exemple un problème dans un livre de terminale. Par un point P situé dans le plan d'un parallélogramme ABCD on mène la paralléle à AB qui coupe AD en I et BC en K, puis la paralléle à AD qui coupe AB en J et DC en L. Le problème consiste à montrer que les droites IJ, KL et BC sont concourantes. Comme vous le voyez il y a des vrais parallélogrammes et des vraies paralléles dans ce problème. Vous êtes donc rassurés, nous sommes bien maintenant dans notre bonne vieille géométrie euclidienne. D'ailleurs cet énoncé correspond à la figure suivante:
En géométrie projective notre énoncé sera exactement le même, mais c'est la figure qui sera différente. En effet nous faisons choix d'une droite de l'infini sur laquelle les trois parallèles AD,BC et JL vont se couper, en R par exemple, de même que les trois paralléles AB,DC et IK se couperont en Q par exemple, sachant bien entendu que QR sera donc ici la droite de l'infini. Voici la figure projective qui correspond au même énoncé du problème:
Nous résolvons alors notre problème par la méthode des hexamys, ce qui est très facile car il s'agit d'un hexamys élémentaire. Et une fois la démonstration faite nous ne disons pas que les droites AD,BC et JL sont sécantes mais qu'elles sont parallèles puisque c'est sur la droite de l'infini qu'elles se coupent, de même que les droites AB,DC et IK. Par contre les droites IJ,KL et DC qui ne se coupent pas sur la droite de l'infini sont donc des sécantes au sens classique du terme. Et le tour est joué ! En utilisant les hexamys qui opèrent en Géométrie Projective nous avons résolu un problème tout à fait ordinaire de Géométrie Euclidienne. Ainsi en quelque sorte nous allons avoir deux langages, l'un euclidien, l'autre projectif et les théorèmes que nous obtiendrons auront la particularité d'ètre valables dans les deux géomètries. Par exemple dans la figure que nous avons considérée au départ et qui est la suivante: on pourra dire, en se plaçant au sens projectif, Se posent alors de nombreux problèmes de cohérence et de compatibilité. mais ils se résolvent facilement par les hexamys et certains ont justement fait l'objet d'exercices proposés dans le thésaurus.. C'est ainsi que de proche en proche on peut retrouver tous les résultats de géométrie euclidienne qui font intervenir ces propriétés. Pour nous amuser démontrons le beau Théorème de Newton qui dit que dans un quadrilatère complet les milieux des diagonales sont alignés. Pour retrouver la définition et les conventions d'appellation dans un quadrilatère complet revoir le Problème IX du Thésaurus. Sur la figure ci dessus la droite en rouge passe par les milieux des diagonales AA', BB' et CC' du quadrilatère complet ABCA'B'C' et c'est cet alignement que nous devons démontrer. Il s'agit donc d'un problème de géométrie euclidienne puisque dans la géométrie projective on sait que le milieu d'un segment n'est pas défini. Et pourtant ici encore c'est par les hexamys que nous allons faire la démonstration. Mais pour ce faire on va transformer un peu l'énoncé en terminant les parallélogrammes BAB'M et C'ACN. Dans BAB'M le milieu de la diagonale BB' est aussi celui de la diagonale AM. Et dans C'ACN le milieu de la diagonale CC' est aussi celui de la diagonale AN. Alors le problème posé est de démontrer que les milieux de AA' et de AM et de AN c'est à dire encore les points A',M et N sont alignés. Passons en langage projectif: les trois droites paralléles AB,B'M et CN sont donc concourantes en P par exemple et les trois droites AC,C'N et BM sont concourantes en Q par exemple en prenant la droite PQ comme droite de l'infini. Et pour prouver que M,N et A' sont alignés il nous faut montrer que la droite MN passe par le point d'intersection de BC et B'C'. La démonstration par les hexamys est alors comme d'habitude extrèmement simple.
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